Thèse Mesures Spectrales de Beta Ensembles Intégrables H/F - 40

Établissement : Université Côte d'Azur
École doctorale : SFA - Sciences Fondamentales et Appliquées
Laboratoire de recherche : LJAD - Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné
Direction de la thèse : Reda CHHAIBI ORCID 0000000200850086
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-04-24T23:59:59Ce document est une proposition de sujet de thèse, sous la direction de Reda Chhaibi. Il porte sur les mesures spectrales des -ensembles intégrables, en lien avec les matrices aléatoires et la physique statistique.
Les -ensembles sont des mesures de probabilité sur des configurations de N points sur la ligne réelle, avec une interaction répulsive de type xi - xj ^ et un potentiel confinant V. Ils modélisent des gaz de Coulomb à température inverse et sont reliés à certaines matrices aléatoires creuses (Hermite, Laguerre, Jacobi, circulaires) dont les valeurs propres suivent ces lois.
Classiquement, on étudie la mesure empirique des valeurs propres (loi du demi-cercle, Marchenko-Pastur, etc.) et leurs fluctuations. Mais une autre construction, dite « cohérente », permet de définir une mesure limite projective infinie via les coefficients de polynômes orthogonaux (Favard, Verblunsky). Pour le cas circulaire, Chhaibi et Najnudel ont montré que la mesure spectrale associée est un chaos multiplicatif gaussien (GMC) sur le cercle.
L'objectif de la thèse est d'explorer ce lien champ gaussien / mesure spectrale pour les -ensembles cohérents infinis, en particulier sur la ligne (Hermite). Deux pistes principales :

1. Comprendre l'émergence d'un GMC analogue sur la ligne réelle, en s'appuyant sur des approximations de type Bernstein-Szego (adaptées au cas réel via quadratures mécaniques), perturbations d'opérateurs de Jacobi, et contrôle de densités vers un GMC (continuité avec Breuer, Forrester, Virág).

2. Étudier les polynômes orthogonaux de première et deuxième espèces sur le cercle : leurs racines forment deux -ensembles couplés avec supersymétrie. Proposer une dynamique brownienne couplée via un opérateur de Laplace-Beltrami supersymétrique inspiré de Sergeev-Veselov et Calogero-Sutherland, exprimé en variables collectives.

Enfin, une ouverture exploratoire vers la théorie conforme des champs (CFT) de Liouville : chercher des liens entre semi-groupe d'anneaux, GMC et évolution des coefficients de Verblunsky.

Matrices aléatoires intégrables (Forrester, Dumitriu-Edelman, Killip-Nenciu), GMC circulaire (Chhaibi-Najnudel), approximations de Bernstein-Szego, perturbations de Jacobi (Khozan), systèmes de Calogero-Sutherland supersymétriques (Sergeev-Veselov), variables collectives (Nazarov-Sklyanin), ouvertures vers CFT Liouville (Guillarmou-Kupiainen-Rhodes).

- Montrer l'apparition d'un GMC dans le cas réel (Hermite)
- Étudier la dynamique couplée des racines supersymétriques
- Construire et analyser un opérateur supersymétrique adapté