Thèse Structure des Algèbres de Descentes Twistées. H/F - 40

Établissement : Université Côte d'Azur
École doctorale : SFA - Sciences Fondamentales et Appliquées
Laboratoire de recherche : LJAD - Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné
Direction de la thèse : Frédéric PATRAS ORCID 0000000280988279
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-04-24T23:59:59

Dans la théorie de Lie classique, un objet joue un rôle fondamental : l'algèbre de Hopf des descentes. Elle contient presque tous les idempotents de Lie fondamentaux, code la relation d'un groupe de Lie à son algèbre de Lie, donne le bon cadre pour analyser la combinatoire des algèbres de Lie libres et leurs bases... Depuis les travaux de Joyal, Stover, Patras-Reutenauer-Schocker, Aguiar-Mahajan, et d'autres, on sait qu'une grande partie de la théorie de Lie combinatoire se relève à la théorie des espèces (les foncteurs des ensembles finis et bijections vers les espaces vectoriels de dimension finie).
La notion d'algèbre de descentes classique se relève en particulier à ce cadre plus général avec l'algèbre des descentes twistée (F. Patras et M. Schocker. Trees, set compositions and the twisted descent algebra. J. Algebr. Comb, 28, 3-23 (2008)). En dépit des progrès substantiels réalisés depuis, et en dépit de l'utilité croissante de ce point de vue des espèces pour l'algèbre générale, la théorie combinatoire correspondante reste incomplète (théorèmes de structure et de rigidité pour différent types de bigèbres, propriétés fines des idempotents, existence de généralisations multiples dans le cas classique jusqu'au récent L. Foissy, C. Malvenuto et F. Patras, Matrix symmetric and quasi-symmetric functions and noncommutative representation theory, arXiv:2503.14417)...
Le propos de la thèse sera d'enrichir la théorie de ces éléments manquants, avec un intérêt particulier pour ses applications (pour l'instant prospectives) à la théorie des opérades de Hopf (M. Livernet et F. Patras. Lie theory for Hopf operads . J. Algebra 319 (12), 4899-4920 (2008)).

Le contexte scientifique général est celui de la théorie de Lie combinatoire, très présent historiquement à l'interface des mathématiques et de l'informatique théorique, ainsi que de diverses applications dont, encore très récemment, les méthodes numériques, l'intégration et le calcul stochastiques, les méthodes de signature en traitement d'images...

Obtenir de nouveaux théorèmes de structure et de nouvelles propriétés combinatoires, en liaison avec les algèbres de descentes tordues et leurs généralisations.

Les méthodes seront celles classiques de la théorie de Lie, adaptées au contexte fonctoriel des espèces qui nécessite souvent des transpositions et des innovations conceptuelles.