Thèse Problèmes de Transport Optimal en Géométrie Sous-Riemannienne H/F - 40

Établissement : Université Côte d'Azur
École doctorale : SFA - Sciences Fondamentales et Appliquées
Laboratoire de recherche : LJAD - Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné
Direction de la thèse : Ludovic RIFFORD ORCID 0000000320847471
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-04-24T23:59:59

Le sujet de thèse proposé porte sur l'étude de problèmes de transport optimal dans un cadre sous-riemannien. Il s'agit d'examiner l'existence, l'unicité et la structure des applications de transport optimales lorsque le coût est donné par la distance, ou par son carré, associée à une structure sous-riemannienne donnée. L'objectif est de déterminer dans quelle mesure les résultats fondamentaux obtenus en géométrie riemannienne peuvent être étendus à ce contexte plus singulier, et d'identifier les phénomènes propres à la géométrie sous-riemannienne susceptibles d'influencer la nature du transport optimal. Une attention particulière sera également portée aux applications potentielles de ces résultats, notamment dans des domaines où les contraintes géométriques jouent un rôle central (contrôle optimal, robotique non holonome ou traitement d'images).
La géométrie sous-riemannienne constitue une généralisation de la géométrie riemannienne dans laquelle la métrique n'est définie que sur une distribution satisfaisant une condition d'accessibilité. On considère alors les courbes reliant deux points de la variété en n'autorisant que les déplacements tangents à la distribution. On appelle courbe horizontale toute courbe absolument continue dont la dérivée est presque partout tangente à la distribution et on définit la distance sous-riemannienne entre deux points comme l'infimum des longueurs de telles courbes reliant ces points. On obtient ainsi un espace métrique, appelé espace de Carnot-Carathéodory, dont la géométrie présente des caractéristiques spécifiques, notamment l'existence éventuelle de courbes minimisantes singulières. Ces particularités rendent l'analyse géométrique et analytique plus délicate que dans le cadre riemannien classique.
La théorie du transport optimal, initiée par Monge au XVIIIème siècle puis renouvelée par les travaux de Kantorovich, vise à déterminer la manière la plus efficace de transporter une mesure de probabilité vers une autre pour un coût prescrit. Lorsque ce coût est induit par une distance géométrique, en particulier par son carré, la structure de l'espace ambiant intervient de manière déterminante dans l'analyse du problème. Une question centrale consiste à savoir si le plan de transport optimal est induit par une application mesurable, et, dans l'affirmative, à en décrire la structure et les propriétés de régularité.
Dans le cadre euclidien, le théorème de Brenier établit que, pour le coût quadratique, si la mesure source est absolument continue par rapport à la mesure de Lebesgue et à support compact, alors le transport optimal est unique et donné par le gradient d'une fonction convexe. Ce résultat a été étendu au cadre riemannien par McCann, qui a montré que le transport optimal peut s'écrire à l'aide de l'exponentielle riemannienne appliquée au gradient d'un potentiel approprié.
L'étude du transport optimal dans le cadre sous-riemannien a été initiée par Ambrosio et Rigot dans le cas du groupe de Heisenberg, puis étendue par différents auteurs dans diverses situations. Toutefois, en raison des spécificités du contexte sous-riemannien, liées à la présence possible de courbes minimisantes singulières, la validité générale de résultats de type Brenier-McCann demeure largement ouverte et constitue un enjeu central de recherche. L'étude de tels résultats constituera l'objet principal de la thèse. Au-delà de son intérêt théorique intrinsèque, l'étude du transport optimal en géométrie sous-riemannienne ouvre également plusieurs perspectives d'applications qui pourront être considérées par le doctorant.

L'étudiant travaillera au sein de l'équipe Géométrie, Dynamique et Topologie du Laboratoire J.A. Dieudonné.