Thèse Décomposition de Koopman pour les Processus de Hawkes et Application aux Données Neurones H/F - 40

Établissement : Université Côte d'Azur
École doctorale : SFA - Sciences Fondamentales et Appliquées
Laboratoire de recherche : LJAD - Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné
Direction de la thèse : Patricia REYNAUD-BOURET ORCID 0000000230541137
Début de la thèse : 2026-10-01
Date limite de candidature : 2026-04-24T23:59:59

La décomposition de Koopman est un outil puissant pour étudier les systèmes dynamiques. Récemment, il y a eu des avancées majeures, grâce au Machine Learning, pour estimer cette décomposition pour des processus à temps discret, via l'observation de séries temporelles [1]. Cet outil a donc de nombreuses applications, en particulier en neurosciences pour comprendre les données complexes comme les électroencéphalogrammes et l'étude du potentiel local de champ. Plus récemment, il a aussi été possible de l'appliquer à l'estimation de générateur infinitésimal pour des diUusions stochastiques [2]. Cependant, les données neuronales in vivo contiennent souvent un autre type de données d'un type complètement diUérent. En eUet, les neurones déchargent au cours du temps des potentiels d'action qui sont l'unité de base de communication entre neurones. Ces données peuvent être vus comme des processus ponctuels, en particulier des processus ponctuels de type Hawkes [3], qui permet l'estimation de graphe de connectivité fonctionnelle [4]. Le but de cette thèse consiste à formuler une décomposition de Koopman pour de tels processus discontinus en temps continu, puis d'implémenter une méthode d'estimation de la décomposition pour ensuite voir son potentiel d'interprétation sur les données neuronales, qui devrait être complémentaire de la connectivité fonctionnelle.

La compréhension des oscillations dans le cerveau a occupé des générations de neuroscientifiques [5]. Si plusieurs phénomènes sont connus, l'interaction entre ses différents rythmes et leur origine dans les trains de spikes qui sont l'activité unitaire des neurones sous-jacents, est mal comprise.
La décomposition de Koopman a la capacité d'extraire des rythmes dans des systèmes dynamiques en interactions. En l'étendant aux processus ponctuels et en particulier à ceux de Hawkes qui modélisent bien un réseau neuronal, on devrait pouvoir accéder aux rythmes intrinsèques qui peuvent être générés par des grands réseaux de neurones complexes. La définition puis estimation de la décomposition de Koopman pour ces processus pourraient donc permettre de fournir l'outil qui permettrait de traverser les échelles et de mieux comprendre la naissance des rythmes complexes tels qu'observés dans le cerveau.

Obtenir une décomposition de Koopman pour les processus ponctuels multivariés, en particulier dans le cas Hawkes.

Le projet adoptera une approche interdisciplinaire, avec d'un côté,(i) un ancrage fort dans le machine learning pour la décomposition de Koopman avec le groupe à Polytechnique formé de K. Lounici et V. Kostic et d'un autre, (ii) une participation importante à l'équipe interinstitut PRIME de CNRS appelée Algernon (Institut de Mathématiques et Biologie) et dirigée par PRB et IB à l'Université Côte d'Azur pour la compréhension de ce que l'outil va apporter du côté neuroscience. L'équipe Algernon s'intéresse en particulier à tout ce qui concerne la définition d'un état cognitif au vu des données neuronales et la diversité des approches abordées dans l'équipe garantira la meilleure interprétation possible des résultats obtenus.